A catástrofe previsível

O que vem a ser denominado catástrofe? Catástrofe de modo genérico é a denominação pela mudança brusca de padrão para um determinado evento. Por exemplo, um deslizamento de terra devido à chuvas, que mata centenas de pessoas é denominado catástrofe, pois devido à uma mudança repentina nos padrões de normalidade (no caso a intensidade de chuvas) um morro não suporta a quantidade de água e se liquifaz vindo abaixo. Quedas bruscas em bolsas de valores levando milhões de pessoas à perdas irrecuperáveis é uma catástrofe. Um tsunami que ocorre devido à terremoto e invade uma ilha alagando e matando milhares de pessoas é uma catástrofe.

Do ponto de vista matemático, René Thom, francês renomado criou um modo qualitativo para a matemática representar uma catástrofe. Na década de 1960 era natural em se pensar em catástrofes pois o mundo vivia a pior fase da guerra fria, e ataques nucleares e catástrofes para a espécie humana era debatido constantemente. No princípio a teoria de Thom não foi muito empolgante quando ele a escreveu na década de 60.

Mas com a crise do petróleo na década de 1970, todos os pesquisadores passaram a estudar sua teoria e começar a aplicar em diversas áreas. A teoria da catástrofe virou "mania" nas academias. As aplicações foram tantas que se banalizou demais a teoria a ponto de cair em total descrédito. Dona de uma matemática muito complicada para leigos entenderem, a teoria da catástrofe foi bastante utilizada por astrofísicos e engenheiros para previsão repentina na mudança de padrão nas variáveis dos modelos.

René Thom - Teoria da Catástrofe

No que consiste a teoria de René Thom? O que Thom fez foi desenvolver uma maneira de observar a variação dos parâmetros em relação às variáveis dos modelos. Criou então o que ele denominou de famílias de catástrofes básicas chamadas de formas "canônicas" de catástrofes . Essas formas canônicas se compõem de equações que podem ser representadas por gráficos para os casos mais simples, tais como a forma cúspida no desenho a seguir.

Antes do computador e de programas conhecidos como "simbólicos", os cálculos eram tediosos e demorados com resultados apenas imaginários. O advento desses resolvedores simbólicos acelerou o interesse pela teoria da catástrofe. Um programa com processador simbólico serve para resolver as equações dando as soluções como variáveis sem precisar de números. Por exemplo, a solução de uma equação de segundo grau permite o cálculo de delta de báskara apenas com letras, ou seja, delta=(b^2-4ac), se as letras da equação forem a, b e c. Programas numéricos permitem apenas o resultado em números.

Passaram-se mais de vinte anos sem ninguém mencionar a teoria das catástrofes e bastou a crise de 2008 para voltar à tona as aplicações para as bolsas de valores. Na internet pode ser encontrado diversos artigos acadêmicos que relatam como pode ser aplicada a teoria da catástrofe em bolsas de valores.

Por que a teoria ficou em desuso tanto tempo? Porque a teoria foi aplicada em ciências socias, medicina, biologia, psicoterapia e até para tratamentos de alcoolismo, banalizando-a. A teoria da catástrofe tem resultados qualitativos o que significa dizer que se as hipóteses forem corretas, o que se tem no final são possíveis cenários para análise de comportamento da solução. Mas não para previsão! Outro motivo de seu esquecimento era que os programas de processamento simbólicos tomavam as vezes meses inteiros rodando para tentarem achar alguma solução. E as vezes não tinha solução.

O que René Thom criou foi uma ampliação do campo matemático conhecido como Topologia Matemática, que é o estudo das formas através das equações. E sem conhecimento dessa área sua aplicação fica apenas superficial e os resultados longe da realidade. Nos dias atuais nem é tão difícil a aplicação da teoria da catástrofe pois com os computadores atuais, em menos de 1 segundo a solução para os problemas mais simples aparecem na tela.

Para não ficar apenas na teoria, vamos aplicar a teoria da catástrofe e mostrar alguns resultados interessantes. Para começar, vamos imaginar que temos em mãos um processo dinâmico, um processo que varia no tempo e com isso depende de uma equação conhecida como equação diferencial. Essa equação vem do cálculo diferencial criado por Isaac Newton e explica o movimento de tudo no mundo a cerca de 400 anos. Por exemplo, vamos imaginar que nosso processo é

Essa equação nos diz que uma certa variável "x" (preço, distância, velocidade, compras, etc) varia no tempo conforme a regra colocada no lado direito da igualdade. Os parâmetros que vão dar o "tom" do crescimento ou do desaparecimento de x são "a" e "b". O que René Thom fez foi avaliar esse lado direito do ponto de vista de possíveis máximos e mínimos. Esses máximos e mínimos são topos e vales que correspondem a instabilidade e estabilidade da variável x. Imagine os preços das ações (suponha que seja x) não parando de cair, ou caindo e estacionando num valor baixo. Ou então, suponha que x seja vendas que não param de cair, estabilizam mas depois começam a cair novamente. Para essa equação se o parâmetro a=-2 e b=1 o lado direito da equação acima tem a seguinte forma:

As "bolinhas" indicam o potencial imaginado por René Thom que faz a variável x (preço, vendas, etc) mudar seus valores durante o tempo todo. Mas como as bolinhas não tem "força" para ultrapassar o primeiro pico, a solução no tempo estabiliza num valor positivo. Isso pode ser visto no gráfico a seguir, onde o eixo das abscissas marca o tempo e a ordenada o valor de x (preços, vendas, etc.) encontrados ao se resolver a equação diferencial anterior:

Enquanto o tempo corre(segundos, horas, dias, etc.) o valor de x diminui mas depois estabiliza e estaciona, parando de cair (as bolinhas não conseguem ultrapassar o primeiro pico do gráfico anteiror quando se deslocam da direita para a esquerda). Para criar um cenário de catástrofe basta então mudar o parâmetro "a". Vamos supor que agora a=-1 e b=1. O lado direito da equação seria

E agora as "bolinhas" conseguem ultrapassar o pico de energia pois ele "rebaixou" e ficou mais "alisado". O que acontece se observarmos o valor da variável x, como se fossemos olhar os preços das ações durante alguns minutos é retratado no gráfico a seguir, solução da equação diferencial com o novo valor de "a":

Eis que surge a catástrofe! O que antes se estabilizava em torno de x=1, com a alteração de "a" saindo de -2 para valor -1 fez tudo mudar quando olhamos no tempo. O patamar de estabilidade caiu ainda mais pois as tais "bolinhas" permitem que o processo tenha mais velocidade de queda encontrando o vale que antes era inatingível. E quando a "bolinha" pára significa que ali, naquele valor o sistema vai estacionar independente de quanto tempo se tiver passando. E como o valor da abscissa desse vale é negativo, x será negativo (perda no valor de ações, vendas, etc.). Se aumentarmos ainda mais o parâmetro "a" para a=1 o resultado que se vê é

Agora os vales e montanhas sumiram e o sistema vai seguir sua trajetória mais rápido para o patamar de queda. Nesse caso não irá estabilizar mais embaixo pois as "bolinhas" não possuem energia para subir a função acima. Quem fornece mais energia é um termo que está multiplicando x elevado a 3, que nesse caso é 1. Aumentando ele, mais energia estará sendo fornecida e a queda será ainda maior para x. Olhando isso no tempo ( onde o eixo das abscissas é segundos, dias, etc.) o gráfico é

O aparecimento da catástrofe fez a solução cair mais do que antes. O que René Thom conseguiu capturar magestosamente foi a importância que os parâmetros tem nos processos dinâmicos. Uma pequena mudança num parâmetro pode transformar uma cenário de céu azul em tempestade. É o que mostra a figura com a nomenclatura da catástrofe.

Por isso, analistas que fazem projeções usando retas, conhecidas como análise de regressão em bolsas de valores nunca acertam projeções de longo prazo. Quem faz projeção de dólar para o final do ano que vem no mínimo está brincando de ser cartomante. É improvável que se acerte algo em tão longo prazo, pois os parâmetros (a, b, etc.) na bolsa de valores mudam a todo instante. Eles representam o fluxo de informação, e qualquer informação que faça o tal "a" mudar por menor que seja, tudo se transforma no processo. É necessário e obrigatório saber que essa brincadeira de previsão está alimentando o tempo todo os parâmetros (a, b,etc.) a ponto de pontos que antes era de estabilidade virarem catástrofes.

Exemplo claro é que antes o patamar das bolsas eram outros e não os que as bolsas estão no fim desse ano de 2010. Esse patamar que olhado do ponto de vista mensal parece estabilidade, em 2008 era uma tragédia. Por exemplo, a PETR4 chegou a valer 80 reais em 2008 e no fim desse ano se comemora que fechou em alta, no valor de... 26 reais!! O que aconteceu em 2008 foi uma mudança em algum tipo de parâmetro "a" das bolsas, causando uma catástrofe ( matemática, é claro) e levando o ponto de estabilidade muito para baixo, igual ao exemplo acima.

Assim, projeções errôneas provocam o sistema das bolsas, alta frequência via computador muda parâmetros, e tudo ao mesmo instante faz com que em algum ponto a frente "as bolinhas" da ilustração ultrapassem o ponto de energia a que estão presas, fazendo o sistema ruir. Por isso sempre dizemos que, adicionar "ruído de informação" é adicionar energia ao sistema das bolsas, e isso ninguém sabe onde vai dar.

Novamente, essa não é uma teoria para previsão, mas para alertas. Entendendo o que René Theom escreveu, e repetindo as equações para algumas situações nos faz entender como "não mexer" no sistema, e não para onde vai o sistema. Ela é uma teoria para conscientização de valores e não para projeções quantitativas. O futuro quem direciona somos nós, pois o parâmetro "a" é nossa escolha, somos nós que dizemos que tipo de catástrofe vamos querer à frente.