Figura-1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Linearização de Sistemas Dinâmicos

Sistemas dinâmicos não lineares são os melhores representantes de eventos do dia-a-dia. Exemplos são sistemas que representam sistemas físicos, biológicos, sociais, econômicos, etc. A dinâmica desses sistemas são sempre descritas como:

onde o ponto em cima de x, denota derivada em relação ao tempo d(.)/dt, f(x) são relações não lineares da dinâmica representada pela derivada de x(t) no lado esquerdo da equação acima.
         No entanto, na grande maioria dos estudos, a compreensão analítica para uma solução fechada desse sistema fica difícil pelo inter-relacionamento das variáveis. O que se procura são sistemas lineares que representem o melhor possível estes sistemas não lineares. Isso porque os sistemas lineares são de fácil tratamento, identificação e entendimento do relacionamento entre as variáveis.
         A linearização deve ocorrer sempre em torno do ponto de equilíbrio do sistema, que em termos de deslocamento no tempo se torna uma trajetória x(t)=constante, que recebe o nome de rajetória nominal.

Imagine que

possua um pequeno erro ou desvio logo no início de sua condição inicial observada. Por exemplo, imagine que a inflação observada no início possua um erro de amostragem ( e sempre possui ) que chamamos de ∆x. Então a inflação estimada para o futuro não seguirá a meta estabelecida, mas poderá ficar bem próxima caso a inflação nominal (ponto crítico do sistema) seja estável. Por outro lado pode não seguir absolutamente nada e a realidade “dispara” em relação ao modelo.

Imagine então que esse erro ou desvio se desloque em torno do ponto de equilíbrio em seu início de partida, próximo da trajetória nominal chamada de mostrado na figura 1.A trajetória desse desvio deve ser considerada sempre em torno do ponto de equilíbrio , o que fornecerá valores em torno da origem, pois hora o erro está para mais do ponto de equilíbrio, hora está para menos (figura 2).

A pergunta é: será que esse erro aumenta com o tempo, ou é controlável e sempre estará próximo da realidade não linear? A solução para esse desvio inicial é encontrar qual sua dinâmica de deslocamento no tempo. Nesse caso, a dinâmica para esses erros segue a expansão em série de Taylor para ∆x, ou seja,

 

A expansão em série de Taylor

O caso estável

Quando se observa o conhecido plano de fase para duas variáveis x(t) e y(t) no caso de sistema estável, circunferências concêntricas aparecem em torno do ponto de equilíbrio (trajetória nominal) mostrado na figura 6. Para sistemas estáveis a solução aproximada segue próxima a solução não linear do sistema original.

Por isso é importante:

1. Identificar através de métodos econométricos os parâmetros dos sistemas não lineares.
2. Encontrar os pontos de equilíbrio.
3. Analisar a estabilidade dos pontos de equilíbrio.
4. Linearizar o sistema em torno do ponto de equilíbrio estável.