A noção das wavelets

O nome wavelet, também traduzido como "ondaleta" representa uma ferramenta de análise de sinal cuja função é adapatar pequenas ondas à um conjunto de dados com a finalidade de extrair informações tais como padrões, fazer filtragens ( em caso de imagem digital), ajustes de curvas, etc.

Desde o estudo de Fourier o avanço das pesquisas na área de processamento de sinais foi assombroso. Já nos anos de 1930 vários matemáticos desenvolveram a noção de espaços para a correlação entre frequência, amplitude e disposição dos dados no tempo. Entre 1960 e 1980, com o advento de computadores com maior capacidade de processamento, a teoria de wavelets passou a ser implementada através de algoritmos computacionais. Começou então os primeiros processamentos de dados usando por exemplo imagens, tais como fotos, imagens de satélites na área de astronomia e a compactação de dados. Por exemplo, graças as wavelets, a compactação de dados JPEG ou JPG se tornou amplamente conhecida e utilizada para economizar espaços de HD e pen-drive.

A figura ao lado, o primeiro gráfico acima mostra um sinal no tempo, com uma descontinuidade ou "mudança abrupta" na tendência. Uma transformada wavelet possui no seu plano XY a disposição do sinal do tempo (eixo x) e as escalas (frequências) no eixo Y. O valor inverso dessas escalas representam as frequências. Assim, quanto mais acima no eixo Y, maior o valor das escalas o que significa baixa frequência no moviento observado no tempo. Por outro lado, quanto mais próximo de zero os valores do eixo Y maiores as frequências, ou mais frenético estão os dados dispostos no tempo,

A escala (eixo Y) é importante pois do ponto de vista algébrico, é com ela que as wavelets são expandidas ou contraídas para melhor se aproximar o sinal original. Para saber qual a escala mais importante, as cores são fundamentais representações. Quanto mais branco, ou ainda, quanto maior a intensidade do branco, mais importante é a escala no tempo (x), quanto menos branco menos importante.

 

IMA - índice de mudanças abruptas

Teoria e Aplicação

O espectro das wavelets

Na verdade o espectro da transofrmada wavelet é um gráfico em 3 dimensoões, "achatado" em duas dimensões para observação. A altura significa a importância dos coeficientes das wavelets, ou seja, a importãncia de cada ponto da escala (eixo y). Em outras palavras, a altura mede qual a frequência que mais aparece no conjunto de dados naquele exato momento do eixo x. Esse espectro é mostrado na figura ao lado, onde o eixo x é o tempo, o eixo y é a escala e o eixo z é a amplitude dos coeficientes, ou a própria transformada wavelet.

Rotacionando esse espectro e olhando-o de cima tem-se a figura a seguir, onde no canto direito aparece o topo mais branco "deitado" sobre o plano x-y e as regiões mais baixas em preto. Novamente, banco significa valores mais significativos da frequência e preto valores menos significativos, o que será importante para a definição do índice IMA.

Esse gráfico é então a representação da superficie da transformada wavelet em 2-D, o que nos mostra que no canto direito do eixo dos tempo, o valores de altas frequencias começam a dominar o sinal. Esse momento, aliás foi exatamente alguns dias antes da virada do Dow Jones em Setembro de 2008 iniciando a crise atual de subprime. A borda direita desse gráfico significa o dia mais recente de observação e a borda à esquerda um certo período passado. Por exemplo, se o período for de 60 dias, o "dia 60" seria hoje e o dia "zero" seria 60 dias passados.

 

 

 

Familias e Escalas

Desde o início, cada wavelet fi sendo desenvolvida e estuda por matemáticos, físicos e engenheiros e dependendo de cada aplicação novas "wavelets mães" foram sendo construídas. Cada pesquisador que encotrava uma nova forma de onda, dava uma nomenclatura podendo ser seu próprio nome ou nomes de matemáticos famosos, como Gauss. Assim, quando se trabalha com transformada wavelet, primeiro precisa-se escolher qual a wavelet mãe que deseja usar. Tipos de wavelets são: gauss, chapéu mexicano, morlet, etc. A figura ao lado mostra algumas das diversas wavelets mãe.

Então escolhendo uma wavelet mãe pode-se tentar ajustar curvas ao conjunto de dados. Na figura acima, os dados em azul são as wavelets mãe e em vermelho um conjunto de dados a ser ajustado. Pode-se reparar que algumas wavelets se ajustam melhor que outras.

Para melhorar o ajuste de uma wavelet é que se utiliza da compressão e expansão da escala ( ou frequências) de forma a enquadrar da melhor maneira possível. Além da expansão e contração pode-se ainda deslocar as wavelets no tempo. A figura ao lado apresenta como se comporta a wavelet com expansão e compressão.

 

 

As wavelets no mercado financeiro

No mercado de ações

No mercado de ações, torna-se bem interessante o reconhecimento de altas e frequências e baixas frequências em negociações do dia a dia e de índices. No exemplo das figuras ao lado é apresentado como se comportam altas frequências e baixas frequências no caso do Hang Seng de Hong Kong. As baixas frequências seriam as tendências ou sazonalidades de longo período e as altas frequências negociações diárias, se o tempo estiver sendo medido em dias.