Quinta-feira, 5 de Novembro, 2015

 

O maior vencedor da megasena

O maior vencedor da megasena é governo, todos nós sabemos disso. Sempre o dono da banca é quem ganha e o que ele distribui é apenas uma pequena parcela dos seus investimentos. Mas quanto o governo federal ganha toda semana? Quanto um apostador perde toda semana? Para quantificar isso, não precisa de nenhuma Teoria das Probabilidades muito sofisticada, a mais básica já ajuda a explicar.

Nesse ano a aposta mínima aumentou para R$ 3,50 nas casas lotéricas, e claro, um aumento justificado para todo apostador colaborar com o rombo da crise financeira pela qual o governo passa. Para começar, vamos utilizar aqui os prórios dados da Caixa Econômica Federal, que disponibiliza seus dados para download.

  • As chances de um cartão de aposta acertar todos os seis números da megasena é de 1 em 50.063.860
  • As chances de um cartão de aposta acertar cinco dentre os seis números é de 1 em 154.518
  • As chances de um cartão de aposta acertar quatro dentre os seis números é de 1 em 2.332

Esses números são econtrados calculando-se a combinação dos números com as escolhas de 4, 5 e 6 dentre todas as possíveis existentes para os seis números. É muito simples e fácil de fazer. As fórmulas a seguir demonstram esses resultados.

Para a sena,

Para a quina,

E para a quadra,

Graças aos matemáticos Pierre de Fermat e Blaise Pascal, esses cálculos são conhecidos desde 1654. Muitos outros matemáticos trabalharam e colaboraram ao longo dos séculos para a formalização da Teoria das Probabilidades que utilizamos hoje. E com ela, podemos calcular o tamanho do ganho dos governos que usam as loterias.

Como temos uma chance em 50 milhões para acertar seis números da megasena, matematicamente sua representação é 1/50 milhões, o mesmo sendo para a quina com 1/154 mil e para a quadra 1/2.332, ou mais formal

Uma segunda noção importante com a Teoria das Probabilidades é sobre o Valor Esperado, ou Esperança sobre um evento probabilístico.

Esse Valor Esperado é um número que quantifica o valor médio para o qual os resultados convergem, se os experimentos probabilísticos se repetirem por muitas e muitas vezes.

Quanto muitas vezes? Esse é outro resultado de um teorema importante, conhecido como "lei dos grande números" e diz que quando os experimentos "tendem" ao infinito, os resultados convergem para um valor determinístico previamente calculado, como o valor médio.

No caso de valor monetário, basta multiplicar ganhos, retornos ou custos, pela chance dos eventos ocorrerem. Por exemplo, se um produto tem probabilidade 1/20 para sair com defeito, o custo esperado será o custo unitário "x" multiplicado pela probabilidade do produto sair com defeito.

Nesse caso, o Valor Esperado representado por E(x) será E(x)=x*p, ou seja, multiplica-se o custo pela chance do erro.

Então quanto custa à Caixa Federal, leia-se governo, cada cartão? Quanto o governo precisa para pagar os prêmios? Ou ainda, quanto o leitor acha que seria um preço "justo" para seu cartão de apostas?

Tomamos o prêmio mais recente distribuído pela megasena. O prêmio acumulado saiu no dia 21 de Outubro de 2015, pagando 47 milhões de reais para a sena, 30 mil reais para a quina e 719 reais para a quadra.

O preço justo de cada cartão de aposta naquela data está calculado ao lado. Seu Valor Esperado foi de R$1,44. Sim, o governo ganhou mais de R$ 2,00 por cartão além do prêmio pago.

Com R$1,44 o governo pagou todo o prêmio e os encargos sobre as outras obrigações e sobrou para ele R$ 2,00. Um investimento e tanto para o governo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se observarmos esse jogo por um ângulo de estratégia, quando seria um bom momento para se apostar na megasena e, pelo menos o cartão de aposta valer aquilo que foi pago?

Sim, porque o apostador já começa no prejuízo antes mesmo do sorteio. De início, o apostador já está dando para o governo R$2,00.

A chance de ninguém acertar o prêmio máximo é multiplicada para cada pessoa que aposta no jogo. Por exemplo, se um jogo diz que a chance de uma pessoa acertar todos os números é de uma para 10, a probabilidade de cinco pessoas não acertarem nenhum desses números é

(9/10) x (9/10) x (9/10) x (9/10) x (9/10)

supondo eventos independentes. Ou então, podemos representar isso como (9/1o) elevado a 5. Para a megasena, a chance de não ter vencedor vai depender do número de cartões de aposta.

Quanto menos pessoas jogam, muito menor as chances de ter vencedor. Na fórmula ao lado, se apenas 1.000 cartões fizerem parte da aposta, a probabilidade de ninguém ganhar é de 99,998%.

Se existir 100 mil cartões, ainda assim as chances de ninguém ganhar são de 99,80%. Com 10 milhões de cartões, a probabilidade de ninguém ganhar é de 81,89%.

Em um desses anos anteriores, reportagens comentaram que a quantidade de cartões para a megasena da virada era recorde, algo por volta de 217 milhões de apostas. Segundo o governo, o prêmio recorde é um "presente" para a população com os resultados acumulados das megasenas anteriores. A chamada "megasena da virada" contém sempre o maior prêmio do ano e o governo garante que vai ter um ganhador sempre.

Realmente isso é verdade, pois como fórmula demonstra, com essa quantidade de cartões a chance de ninguém acertar os seis números é de apenas 1,8409%. Em outras palavras, a probabilidade de alguém ganhar a megasena da virada é de 98,15% (cálculo mais acurado). Com os dados da Caixa é possível estimar o valor dos prêmios pagos para a quina e quadra. Então o leitor pode estar perguntando, quando eu posso jogar de forma a pelo menos meu cartão valer o que paguei?

O prêmio médio pago até novembro de 2015 para a quina foi de R$19.769,86 e para a quadra R$315,45. Para descobrir de quanto deve ser o prêmio máximo de forma a você, caro leitor, pelo menos participar de forma justa do sorteio, basta uma álgebra simples como essa a seguir. Substitua o prêmio da megasena pela letra G e coloque os demais (média histórica) multiplicando pela probabilidade de acertar quina ou quadra. Essa soma deve ser maior do que o preço do cartão de aposta, da seguinte forma,

E então encontramos que vale à pena jogar na megasena quando o prêmio for maior do que

É isso mesmo! O nosso cartão de aposta, apenas vale o preço da aposta quando o prêmio pago for superior a 162 milhões de reais, ou seja, na megasena da virada. Como os prêmios normais de cada semana, quando acumulados giram em torno de 40 milhões de reais, estamos sempre colaborando com o governo mesmo antes do sorteio. Quanto menor o número de cartões, maior a margem de lucro da Caixa Econômica Federal para cada aposta.

Mesmo os opositores de qualquer governo, mesmo aqueles que detestam qualquer governo, ao participar de loterias federais ou estaduais, estão dando aos políticos 100% do valor pago pelo prêmio. Por exemplo, se utilizarmos a média histórica dos preços pagos para a megasena, sena (R$ 3.913.299), quina (R$ 19.769,26) e quadra (R$ 315,45), o valor justo do cartão é de apenas R$ 0,34. O governo ganha do seu cartão de aposta, caro leitor, R$ 3,16 livres para investir onde desejar. Com apenas 34 centavos de cada cartão o governo para todos os encargos e as taxas para fundos de ajuda ao esporte, aos carentes, e tudo ao que se relaciona ao prêmio.

Com apenas 34 centavos de reais (em média) por cartão o governo paga o que anuncia. Isso, no entanto, não recrimina ninguém por jogar na megasena mesmo que seja no prejuízo do valor do cartão. Afinal de contas, vai que um dia a probabilidade de ganhar lhe escolha!

 

 

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