Sexta-feira, 13 de Março, 2015

 

Mercados Fractais

Se existe alguém que bateu de frente com os tradicionalistas do mercado financeiro, esse alguém foi Benoit Mandelbrot. Nascido em Varsóvia em 20 de Novembro de 1924, Mandelbrot foi odiado em seu início de carreira, e amado em seu fim. Ao falecer em 14 de Outubro de 2010, Mandelbrot recebeu reconhecimento e honrarias no final de sua história. Ele foi o criador da Teoria da Auto-Similaridade e da Teoria da Rugosidade, que culminaram na conhecida Geometria dos Fractais. Graduado em Matemática, fez seu mestrado em Aeronáutica no Instituto de Tecnologia da Califórnia, possuindo então cidadania americana e francesa. Em 1958 entrou na IBM por onde trabalhou 35 anos.

Benoit Mandelbrot

Até os anos 1970 a teoria de Mandelbrot sobre as auto-similaridades de funções e suas medidas de rugosidades nos sinais não chamavam a atenção do público em geral. Mesmo na área acadêmica existiam divergências sobre a utilidade e se o que ele desenvolvera realmente era uma teoria. Mas estando no meio de grandes computadores da época na IBM e quase exclusivamente para ele e sua teoria, Mandelbrot chamou a atenção de seus estudos quando começou a divulgar inúmeras imagens que emergiam das telas do computador diretamente para as telas de televisão.

Imediatamente foi um sucesso de público, pelas formas variadas e infinitamente não repetitivas que apareciam, mas que quando se olhava com aumento repetiam as formas originais. Filmes e clips de música utilizaram de forma abrangente as imagens de Mandelbrot, que soube como tirar proveito em cima da mídia para espalhar a verdadeira teoria matemática dos fractais.

Geometria Fractal criada em computador

Basicamente um fractal é um "pequeno pedaço de curvas e tipos de formas básicas" encontrado em grande quantidade num conjunto de dados com as mais variedades de escala. E como esssas formas se repetem, hora se expandindo, hora se contraindo, formam belas figuras. Mas não só isso, pois elas servem matemáticamente para muitas atividades do cotidiano. Por exemplo, elas servem para calcular áreas de regiões cobertas de reentrâncias, principalmente na parte costeira dos países. A precisão é milimétrica.

E quando Mandelbrot se voltou para os dados do mercado financeiro, destruiu os pilares dos economistas tradicionais de Chicago e Harvard, que ridicularizaram seu estudo. Cegos e melancólicos pela tese do "mercado eficiente", esses economistas viram os fractais de Mandelbrot destruir com dados, estatísticas e resultados, todos os pilares do tradicional mercado financeiro.

Em seu livro "Mercados Financeiros Fora de Controle - A teoria dos fractais explicando o comportamento dos mercados", Mandelbrot faz um passeio por toda a tradicional teoria de finanças, remodelando o pensamento dos mercados com sua teoria dos fractais.

Nos dias atuais, existem centenas de milhares de artigos aplicando fractais em ativos ou índices de bolsas de valores ao redor do mundo. Literalmente o mundo todo está representado em teses ou artigos facilmente encontrados na internet, ligando fractais e bolsas de valores para diversos tipos de dados sobre ações, opções ou commodities.

O ponto central dos fractais é encontrar a força da singularidade nos dados, força essa que é traduzida na Dimensão Fractal criada por Mandelbrot.

A flutuação dos dados de mercado é medida através de uma função parecida com o desvio padrão, mas com os dados misturados em diversos intervalos de diversos tamanhos. A "brincadeira" de Mandelbrot é descobrir qual o valor mais importante dessa flutuação e qual o coeficiente de sua lei de potência:

Na relação anterior "s" é o tamanho de um intervalo e h(q) um coeficiente que mede a força das singularidades, também chamado pela letra grega "alfa" por Mandelbrot. Com esse coeficiente é que se descobre a dimensão fractal dos dados.

Essa dimensão, que pode ser uma função que Mandelbrot chamou de f(alfa) ou D(q), mede a invariância na série de dados em múltiplas escalas. Se a dimensão fractal D é igual a 0,5, a série é sem memória e apenas os últimos e mais recentes dados são mais importantes. Acima de 0,5 até 1, o mercado se lembra do passado e reforça a série de maneira positiva. Se D é menor do que 0,5, o mercado se lembra do passado e reforça negativamente o sinal observado.

Reforçar positivamente significa que, se existir uma alta no dia anterior, no dia de hoje ela será alta novamente. Reforçar negativamente significa que se existir uma alta no dia anterior, no dia de hoje o mercado tenderá a ser de baixa.

Isso tudo se traduz numa medida estatística conhecida como autocorrelação de sinal.

A curva clássica entre a Dimensão dos fractais (ou força das singularidades) é sempre na forma parabólica apresentada ao lado. No eixo vertical está a função f(alfa) que diz quanto vale a "rugosidade" da série de dados.

No eixo horizontal está o coeficiente da lei de potência que indica qual a força dessa "rugosidade". Comparar então essa curva para diferentes formas de dados, é a "brincadeira" que incansavelmente os artigos sobre mercado financeiro vem publicando em revistas há duas décadas.

Por exemplo, existe uma série de estudos mostrando que foi possível detectar o crash no Dow Jones em 1987. O gráfico ao lado mostra a série de dados até 1987, onde os coeficientes "alfa" são plotados embaixo do gráfico.

Acima de um certo limiar, existe um indicativo de aumento de "rugosidade" e de aumento de "singularidade". Realmente é possível notar um pico bastante diferenciado nos dias que antecederam o grande crash de 1987 nos mercados mundiais.

Por estar bastante difundido nos dias atuais, a geometria fractal está também em áreas bastante distintas, como na cardiologia e neurologia. Existem estudos medindo a dimensão fractal de batimentos cardíacos e curvas mostram quando a dimensão se torna mais forte ou mais fraca.

Dependendo do tipo de parábola como a do gráfico mostrado acima para a dimensão fractal, pode-se "prever" se o paciente terá um ataque do coração, ou melhor, qual a probabilidade do paciente ter um ataque do coração.

Esse é outro aspecto que Mandelbrot gostava de salientar, ou seja, que a dimensão fractal é uma medida de probabilidade.

 

Gráfico da dimensão fractal

 

Dow Jones e coeficientes da dimensão fractal

Gráfico padrão da dimensão fractal

 

Gráfico da dimensão fractal para o Ibovespa antes e depois da crise de 2008

Ibovespa (11/11/2009 à 11/3/2015)

O gráfico da parábola da dimensão fractal é interpretado como na figura ao lado. O lado esquerdo da parábola para valores de "q" maiores do que 1, indica singularidades muito fortes na série.

E quanto mais para baixo da parábola (mais positivos valores de q) mais a série se reforça negativamente, pois a dimensão que está no eixo vertical torna-se menor do que 0,5.

Ainda do lado esquerdo da parábola, mas para valores da dimensão acima de 0,5, as singularidades são fortes, mas a série se reforça positivamente.

Então, se numa série de dados, comparando-se dois intervalos diferentes, o ponto mais abaixo à esquerda do primeiro intervalo tem dimensão fractal (eixo y) inferior ao ponto mais abaixo à esquerda do segundo intervalo, então o primeiro intervalo é muito mais arriscado.

Isso porque ele terá uma dimensão que indicará reforço mais negativo em singularidades mais fortes.

Se as singularidades mais fortes forem "crashes" financeiros, então, uma queda forte de ontem, induzirá uma alta forte de hoje e depois outra queda forte. Ou seja, nervosismo generalizado e indecisão do mercado.

Analisamos as três situações para a Bovespa: antes da crise de 2008, durante a crise e depois da crise. O gráfico das dimensões está ao lado, rodado num código construído em Matlab.

A curva em azul mostra que o ponto mais à esquerda da parábola tinha dimensão D = 0,43 antes da crise de 2008. Então as altas singularidades tinham um reforço negativo mas ainda fraco, pois D era menor do que 0,5 mas ainda próximo desse valor.

Era o período onde o Ibovespa subia constantemente. Notícias de uma passado distante tinham importância sobre as negociações, mas as altas e baixas se alternavam sempre com tendência de alta.

A curva em verde foi o período turbulento da crise de 2008. A dimensão é D = 0,31.

Então as singularidades fortes, tem reforço bastante negativo. Se num dia do segundo semestre de 2008, existia uma queda forte num dia, no outro a alta era forte, e no outro queda forte novamente. É o que se chama de alta volatilidade.

E no atual momento da Bovespa?

A curva em vermelho apresenta D = 0,52, ou seja, depois de 2009 estamos com dimensão fractal acima de 0,5.

Existe um reforço positivo, onde notícias de muito tempo atrás são bastante importantes nos dias atuais. As conturbações sobre a Petrobras "operam" e "reforçam" diariamente qualquer negociação na Bovespa.

Como o reforço é positivo, se existe uma queda num dia, no dia seguinte essa queda será reforçada. O mesmo ocorre com as altas.

E de reforço em reforço, o Ibovespa pode sempre cair mais no dia seguinte. Por outro lado, caso a tendência mude de direção, uma forte alta pode ocorrer durante alguns dias, sendo constantemente reforçada.

O último gráfico do Ibovespa desde 2009 até 2015 mostra exatamente isso. Longos períodos de alta, seguidos de longos períodos de baixa. Mais recentemente tivemos no ano passado cerca de dois meses a três meses de alta na Bovespa antes da eleição e depois quedas até o fim de janeiro de 2015. Em Fevereiro tivemos forte alta na Bovespa, que poderá ou não ser reforçada positivamente no futuro.

O fato é que a contribuição de Mandebrolt colocou um tempero mais interessante na interpretação dos dados, sendo amplamente utilizada para entendimento de séries temporais. Seu poder de previsão ou antecipação de fatos é questionável, como em toda teoria. Mas a criação de um gênio como Mandelbrot prova que nosso cérebro é fractal, tornando as pequenas ideias em grandes teorias.

 

 

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