Operando ruído

"Vamos à Lua não porque é fácil, mas porque é difícil" disse J.F.Kenedy, quando presidente dos EUA no início da década de 1960. É isso que faz o mundo girar e crescer, enfrentar desafios impossíveis tornando-os possíveis. Sempre depois de um marasmo, algo novo e desafiador fez o mundo se desenvolver. Após a peste negra na Europa e do atraso dos religiosos em caçar mulheres rotulando-as de "bruxas", um longo período de fertilidade de idéias veio com a descoberta das Américas. Novos insumos e desafios foram proporcionados pela necessidade de novas e maiores embarcações, com sofisticações de aparelhos de medidas e mapas.

Tudo ia bem até Napoleão acabar com tudo. E então, com as colônias tornando-se independentes uma nova ordem mundial foi estabelecida e novas regras tiveram que ser criadas. Novamente o mundo cresceu e se desenvolveu sem as amarras da Europa. E de novo, veio a crise de 1907 para preparar o mundo para uma crise maior em 1929. E ir a Lua, bem ou mal trouxe necessidade de novos desenvolvimentos e conceitos. Com o marasmo da crise do Petróleo veio a era dos computadores. E com o marasmo da década de 1990 veio a internet para tornar o mundo agradável até se tornar rotineiro novamente, como nos últimos anos.

Ir até a Lua tinha um desafio particular. Como estimar a trajetória das espaçonaves em tempo real? Ou seja, se a espaçonave estava em x Km em 1 dia e 2 horas, o que aconteceira na próxima hora? E mais, como filtrar os enormes ruídos dos sinais tanto da Terra quanto da espaçonave. Mesmo nos contatos com voz, jargões foram necessários para não confundir comandos. Por exemplo, "Roger" e "Copy" foram elaborados para dizer que entendeu e que exerceria o comando passado. A estimação dos valores da trajetória esbarrava num problema teórico que tinha que se resolver em menos de 10 anos. A equação para se estimar qualquer variável X de maneira ótima já era conhecida desde a época de Gauss e tem a forma:

As variáveis A e B representam uma ferramenta matemática conhecida como matrizes, que compactam as equações na forma de números formando linhas e colunas na forma

E o problema está exatamente no número (-1) no primeiro parêntesis. Ele representa a notação conhecida como matriz inversa. Por exemplo, na divisão de dois números, 2/3 , o número 3 na parte de baixo da divisão pode ser visto como a fração 1/3, ou seja, exatamente o inverso de 3. Mas para matrizes, calcular inversa de matrizes com muitos elementos na época era muito complicada. Numa das últimas conversas com o saudoso professor Odelar Leite Linhares, fundador do primeiro curso de computação do interior de São Paulo, na USP de São Carlos e presidente emérito da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional, ele nos reveleou como a NASA o tinha contratado para inverter matrizes em 1965.

O professor Odelar recebia as matrizes da NASA e tinha uma boa verba para contratar estudantes para inverter matrizes. Ele contratava 100 estudantes e separava em 10 fileiras de 10 alunos. Entregava "pedaços" na matriz para os últimos alunos de cada fileira. Eles iam fazendo os cálculos e passando à frente até chegar aos primeiros. Então, quando todas as fileiras terminavam os cálculos o professor tomava as repostas e conferia. Todas as fileiras tinham que fornecer a mesma resposta e se uma desse diferente, tudo voltava a estaca zero! Tudo tinha que recomeçar até a resposta bater. Que tempos! Então ele mandava a solução para a NASA que lhe enviava novas matrizes e assim o homem foi ao espaço.

Como resolver esse problema? Computador tinha memória menor do que nossas atuais calculadoras de celulares. Foi então que apareceu um professor da Inglaterra conhecido como Kalman. Ele criou uma versão da equação de estimação acima que não precisa da inversa, e resolve o problema de forma iterativa (repetição) atualizando os cálculos para cada novo dado. O nome desse método se tornou mundialmente conhecido como Filtro de Kalman, pois além de estimar ainda filtrava os ruídos oriundos dos sensores. (Veja explicação mais detalhada e teórica aqui no site).

O que Kalman deixou muito claro em seus primeiros trabalhos é que o resultado das estimativas futuras dependem da parte mais importante, o chamado "modelo". Modelo errado, projeção errada. Se o sinal está errado, o problema ainda pode ser corrigido pela memória do filtro, mas o modelo é o DNA do núcleo produtivo do filtro. Se o DNA está com erro a célula gera "cancer", ou seja, dados explodem fora do valor correto. Você vai observar apenas ruído.

Na figura a seguir, fizemos uma propagação ensinando o filtro com um modelo ligeiramente errado. Trocamos alguns termos, mas enviamos o sinal de um sensor correto. Nos dias de hoje o Filtro de Kalman está programado em diversos softwares, principalmente naqueles que possuem ferramentas de aquisição on line como o Matlab. O toolbox de sinais do Matlab e de sistemas de controle proporcionam automtização imediata, mas... você precisa fornecer um modelo coerente. Veja o que acontece quando o modelo está errado.

A linha contínua simula o sinal correto, e a linha em vermelho a estimativa errada do filtro. Agora veja o que acontece quando além do seu modelo estar errado, o sinal de ruído for alto. O que acontece é que o filtro não filtra nada, apenas segue o sinal como um "cãozinho" que cai do caminhão de mudança. O filtro só está correndo sem saber para onde. O ruído manda no processo e você só tem ruído achando que está estimando algo.