Assim como no caso da Otimização Linear e Otimização não Linear, a Otimização de Sistemas Dinâmicos precisa de uma função custo ou índice de desempenho a ser maximizado ou minimizado. A diferença nesse caso é que, as restrições que na otimização linear são retas e na otimização não linear são funções não lineares, aqui serão equações diferenciais. Essa não é apenas uma diferença, mas um enorme complicador. Todos os métodos serão diferentes, as formas de resolver, os tipos de resolução, as condições de exsitência e inclusive os métodos numéricos de resolução. Até bem pouco tempo atrás, os métodos numéricos existentes eram bem limitados e conseguiam resolver versões muito simples de problemas reais. Mesmo o caso do pouso na Lua foi bastante simplificado com aproximações lineares das equações diferenciais para possibilitar a resolução.

         O ínicio de tudo se baseia no conhecimento da dinâmica que está envolvida no problema a ser minimizado, ou seja, quais as leis de movimento que rejem o problema. Essa dinâmica, representada por equação diferencial define o estado do sistema e por isso são conhecidas como equações de estado.

         No caso de simulação de sistemas dinâmicos, apenas a equação acima e as condições iniciais seriam suficientes. Basta apenas fazer a integração analítica ou numérica usando Ruge-Kutta e tem-se uma certa "previsão" de onde o sistema estará no futuro. Mas para o caso de otimização, deseja-se não somente saber onde o sistema estará no futuro, mas sim onde estará de forma ótima. A otimização dependerá sobretudo, da ação externa u(t) conhecida como controle. Essa ação é que deve direcionar o sistema e com regras e leis matemáticas previamente calculadas, direcionará o sistema de forma a maximizar a função custo ou minimizar a função custo, dependendo do que se deseja resolver. Se fosse desejado apenas que no final do percurso do sistema, o custo fosse mínimo ou máximo, a forma da função custo também conhecida como índice de desempenho ou índice de performance seria:

         Mas a melhor forma de otimização é aquela onde um sistema inteligente minimiza toda a trajetória do início ao fim. Então se deseja que não somente o valor da função custo seja ótimo no fim mas na soma de todo percurso. Essa soma em sistemas contínuos se traduz como integral, pois os passos são infinitesimais. Logo, a função custo ou índice de desempenho deverá ter a forma:

        Imagine o seguinte exemplo:

       Um motorista deseja sair de sua casa num certo horário (t=0 para zerar o cronömetro do carro) e tem hora certa para chegar ao seu trabalho (T = tf, tempo final do percurso).

 

 

 

 

 

 

      

     Sabemos da lei de Newton que força = massa x aceleração, ou F=m.a. Do cálculo sabemos que aceleração é na verdade a derivada segunda do espaço a ser percorrido em relação ao tempo. Então a lei de Newton pode ser expressa pela fórmula

onde x varia no tempo { na verdade o correto é x(t) } e representa o espaço a ser percorrido. A ação F/m vai representar a aceleração ou desaceleração, ou ainda uma composição das duas. Por exemplo, a força F pode ser F = aceleração + freio + atrito + vento +... enfim, pode ser cada vez mais sofisticada. Então nosso motorista pode escolher a cada dia o que deseja fazer conforme os compromissos de sua agenda. Por exempo, ele pode desejar chegar ao trabalho o mais rápido possível (tempo mínimo), se o combustível for pouco em seu tanque ele pode desejar economizar combustível (energia mínima), pode desejar um caminho mais curto (distância mínima), pode querer aumentar o rendimento do combustível (maximizar energia), enfim, dependendo de sua escolha a função custo deve ser alterada.

     Por exemplo, se o motorista desejar mínimo tempo de percurso o problema matemático terá a seguinte forma padrão:

sujeito a

com as condições de contorno

       Condições de contorno significam condições onde o sistema dinâmico deve começar e onde ele deve terminar. Essas condições são diferentes de sistemas apenas com a condição inicial, pois a lei de controle ótimo u(t) é quem vai guiar o sistema para obedecer as condições estabelecidas. Por isso esse problema também é conhecido como problema de valor de contorno em dois pontos ou em inglês TPBVP(two point boundary value problem).

 

 

 

 


 

 

Introdução

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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