Deseja-se minimizar o tempo final e colocando no funcional J como um objetivo a ser atingido,



ou na forma de integral, como



então



Supondo que  a dinâmica de movimento seja dada pelas equações a seguir



a idéia é encontrar qual a lei de controle ótimo que leve o sistema no menor tempo possível ao seu destino. Vamos adotar que o sistema partirá da posição



e deverá chegar em  local pré-determinado e fixo


A hamiltoniana é construída da seguinte forma:



As equações adjuntas serão



ou melhor representadas



E o controle nesse caso será



o que nos fornece



com o a lei de controle ótimo



A SOLUÇÃO



                Partindo da equação da adjunta nula



e na segunda equação



Logo, o controle deverá ser variante no tempo segunda a lei



Substituindo-se essa lei de controle  nas equações diferenciais de x e y e usando as condições iniciais, chega-se a solução do sistema


 


onde a lei de controle ótimo ficará em função do tempo final



O tempo final mínimo poderá ser obtido apenas escolhendo qual a ação de controle inicial será usada no tempo t=0. Então para t=0,



o que nos leva para a equação do tempo final ótimo



Os gráficos a seguir mostram a proximidade da resolução do problema usando o método numérico da colocação e a solução analítica encontrada para x(t), y(t) e u(t) para deslocamento em tempo mínimo. A linha contínua é a solução numérica do problema e a linha tracejada a solução analítica.

 

 

 


 

 

Caso5: Minimizar tempo final com estado final fixo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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