Caso6: Minimizar travessia de um rio - Problema de Zermelo (1931)

 

 

 

 

O problema da travessia de um rio com correnteza como mostrado na figura anterior é conhecido como problema de Zermelo. É um problema clássico de otimização dinâmica onde se considera um rio com correnteza de direção paralela às margens (no caso paralela ao eixo x). Adota-se a velocidade do barco constante V tocado por um motor. A ação do controle u(t) será exercida sobre o ângulo que o barco faz com a direção da correnteza.

 

 

O que se deseja é minimizar o tempo da travessia, o qual será o índice de desempenho do problema. Então deseja-se



sujeito à dinâmica do barco para se deslocar



onde as condições de contorno do problema serão:


                                                                                  

                         
O primeiro passo é montar a função hamiltoniana H:


            

                        
As adjuntas serão


       


A lei de controle ótimo será


o que nos leva a



ou



A solução para as equações adjuntas é fácil de se obter usando integração simples com as constantes de integração:




Como o tempo final é livre e  é fixo,



e então




por outro lado, usando a lei de controle  ótimo,



onde juntando os termos



Assim, chega-se ao sistema para determinação das constantes


                        


O que nos leva as soluções para as constantes




Agora sim, de posse dessas duas constantes, as soluções para as adjuntas serão:



Soluções das equações de estado:


Da equação da constante  é possível encontrar a solução para a variável de estado y(t), ou seja,



então



ou



Substituindo y(t) na equação diferencial de x(t) chega-se numa equação que dependerá apenas da constante de integração que pode ser descoberta pelas condições iniciais e pela lei de controle u(t). Como a lei de controle u(t) depende das adjuntas e as adjuntas dependem da lei de controle, a solução analítica precisa de algumas manipulações para transformar a variação no tempo para a variação de uma variável em relação a outra. Se continuarmos com o uso da solução anterior de y(t) encontraremos a equação diferencial para x(t) na forma:



A solução analítica dada por Bryson & Ho em "Applied optimal control: optimization, estimation, and control" utilizou de uma mudança de variável para mudar a equação diferencial anterior em termos do controle u na forma:



Então usando-se do cálculo variacional a solução analítica apresentada foi


 

Solução mais simples nos dias de hoje é utilizando rotinas computacionais tanto para integração numérica quanto para a resolução de problemas de contorno numérica. Por exemplo métodos como múltiplos tiros ou método da colocação já são implementados como toolbox do Matlab, no caso com nome de bvp4c.m.

O resultado nas figuras a seguir representam a otimização do sistema que representa um barco com as equações diferenciais com o controle no ângulo u(t). O exemplo é o mesmo do livro de Bryson & Ho com as mesmas condições iniciais. Na figuras 1 e 2 são apresentadas as soluções para o deslocamento no eixo x(t) e y(t). Uma melhor representação espacial percebe-se na figura 3 onde mostra de onde o barco saiu e onde ele chegou (condição de contorno no ponto espacial (0,0)). As setas indicam a posição do barco conforme o controle ótimo encontrado e apresentado na figura 4. É possível notar que o barco começa com um ângulo de 90 graus deixando-se levar pela correnteza e lentamente o motor é acionado virando e impulsionando o barco até ele passar um pouco do ponto (0,0) à esquerda. Então aciona-se potência suficiente para frear o barco e chegar no destino.

 

 

 

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