Uma vez definido e escolhido o índice de performance a ser minimizado ou maximizado e a dinâmica do sistema envolvido, deve-se abordar sob quais condições o controle deve atuar sobre esse sistema de forma a satisfazer as condições iniciais e finais. Definir essa lei de controle, significa criar regras sobre o conjunto de controle admíssiveis exsitentes sob a dinâmica envolvida. O conjunto dos controles admissíveis {normalmente representado pela letra maiúscula U}, é o conjunto de todos os possíveis controles u(t) com t<=Tempo final de forma a satisfazer esses valores de contorno do sistema dinâmico. Mas qual é o melhor?

        O melhor controle u*(t) dentre todos os admissíveis é aquele que não somente provoca o melhor valor total do índice de performance J. O melhor controle u*(t) é aquele sob o qual a função Hamiltoniana seja constante sob todo o intervalo. A função Hamiltoniana emprestada da física é uma forma de medida de energia do sistema dinâmico. Conhecido como princípio de máximo { ou de mínimo} de Pontryaguin estabelece que o melhor controle dentro do conjunto de todos os admissíveis é aquele onde o valor da função Hamilotniana para esses controles ótimos u*(t) é o menor dentre todos os u(t) e ainda, essa atuação externa de u*(t) faz com que a Hamiltoniana seja constante.

      Ou seja, em termos matemáticos, queremos que a forma de atuação externa ao sistema dinâmico não introduza "nova energia" e esse valor satisfaça

    onde a condição de não variabilidade da Hamiltoniana significa, em termos matemáticos, que esse controle deve manter a variabilidade nula, ou ,

    essas condições provocam regras para se encontrar o controle ótimo, mas são condições apenas necessárias. Ou seja, um sistema pode satisfazer as regras necessárias, mas mesmo assim, o controle encontrado pode não ser ótimo. Para isso devem-se fazer uso de condições suficientes para a garantia de que o controle encontrado seja ótimo. Essas condições suficientes são mais rígidas e devem garantir que numa região fechada em torno dos controles admissíveis, a norma {medida entre o estado e controle dentro de todo intervalo t<=T} seja limitada, ou ainda

     E quem é a função Hamiltoniana?

    A função Hamiltoniana é como se fosse a função Lagrangeana da otimização não linear, onde são criados os multiplicadores de Lagrange para se expandir a função custo e encontrar o ótimo dessa função expandida. No caso em questão, a função se torna diferente pois os vínculos dessa nova função não são estáticos, mas baseados nas equações diferenciais. Então, a função Hamiltoniana é definida como

onde "g" e "f" advém do índice de performance e da dinâmica respectivamente, ou seja,

      Toda a geração das condições necessárias ao controle ótimo, advém do cálculo variacional e demandam um bom tempo e precioso entendimento da geração das mesmas, que podem ser resumidos da seguinte forma.

CONDIÇÕES NECESSÁRIAS PARA OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS

     Para minimizar (maximizar) o índice de performance

sujeito a dinâmica

deve-se criar a função Hamiltoniana de forma a satisfazer

e ainda as condições conhecidas como transversalidades

 

 

 

 

 


 

 

Condições Necessárias

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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