Deseja-se minimizar



Sujeito a restrição dinâmica



Com as condições de contorno

 


A função hamiltoniana desse problema é

 


A Equação de coestado ou variável adjunta será:

A equação de controle é fornecida pela condição de não variabilidade da hamiltoniana, ou seja,



o que nos leva a



Então o problema torna-se


Min


Sujeito a




Com


     x(0)=10
            x(1) = livre

e lei de controle


Solução

Partindo-se da equação diferencial da adjunta
 
Integrando-se essa equação obtém-se

Onde C1 será determinado. Substituindo-se o valor de λ no controle u* e depois na primeira equação diferencial, torna-se possível nesse caso a integração direta. A integração da equação diferencial do estado x(t) fornecerá

 


Para eliminar as constantes C1 e C2 utiliza-se as condições de contorno tanto para as variáveis de estado quanto para as variáveis adjuntas. Assim, para achar a primeira constante, faz-se uso do fato que x(0) = 10 e então

 

     ou seja,        


Para a constante C1, lembrar o fato que x(1) é livre. Nesse caso pode-se fazer uso da condição terminal para a adjunta, que pelas condições de transversalidades nos fornece . Como se tem a solução analítica da adjunta, então


                      e então        

Então, usando-se os valores das constantes determinadas, chega-se a solução analítica para a variável de estado. A solução para esse problema é

 

       


Com a variável de controle


            Isso já era intuitivo, pois para minimizar a energia do sistema para leva-lo a qualquer estado final é não fazer nada, por isso o controle é nulo em todo o tempo percorrido pelo sistema dinâmico representado pelas equações diferenciais. Os gráficos apresentam essa solução em comparação com a rotina numérica do Matlab. A trajetória para o estado x(t) é coincidente enquanto para o controle a diferença é que o zero numérico do Matlab é 10-18, por isso a diferença nas curvas tracejadas e contínuas.

 

 

 

 

 


 

 

Caso1: Mínima energia com estado final livre e tempo final fixo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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