Neste caso, deseja-se minimizar o mesmo funcional do caso 1 e caso 2, mas agora com o tempo final sendo livre. Deseja-se então,

Minimizar


 


Sujeito a restrição dinâmica



Com as condições de contorno

 



Onde agora o tempo final é livre além do estado final. A solução é a mesma apresentada para o caso 1:


Como tem-se agora duas incógnitas, a solução é procurar uma relação entre o tempo final e o estado final. Quando o valor de um for conhecido o valor do outro sai da relação. Então, sendo x(tf) e tf não nulos,



e então



O que fornece



Logo, para cada valor do estado final, temos o tempo necessário para minimizar o índice de performance e cumprir o valor desejado.

x(tf)

tf

10

0

5

0,34

1

1,15

0,5

1,5

0,01

3,45

que em termos gráficos será

 

 

 


 

 

Caso3: Mínima energia com estado final livre e tempo final livre

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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