Deseja-se maximizar o funcional J considerando o estado final x(t) livre e o tempo final fixo.  Do ponto de vista matemático, vamos considerar o funcional e a dinâmica como se segue.


Max      


Sujeito à



Com 


Nesse caso u(t) é o controle x(t)a variável de estado. O primeiro passo é a construção da função hamiltoniana


As condições necessárias serão:



E a lei de controle ótimo será



O que nos leva ao controle ótimo


                            

Como as variáveis adjuntas lambas são apenas auxiliares, a idéia é tentar de alguma forma eliminá-las. Da equação diferencial da variável adjunta, sabemos que a solução teórica é da forma



Onde o ponto em cima da variável lambda é da derivada no tempo. Essa é uma notação típica de físicos e engenheiros. Da condição necessária acima, sabe-se que



Então substituindo na integral


O que nos leva a



Como o estado final é livre, sabemos que a variável adjunta no tempo final TF=1 é zero, ou seja,



Então, com isso descobrimos a condição inicial para lambda, ou seja, substituindo t=1 na equação de lambda,



E isso nos leva a



Logo, a solução para a variável adjunta é encontrada e será


Interessante agora, que pode-se retirar essa variável tanto da equação de estado quanto da lei de controle ótimo pela sua substituição. Substituindo lambda na equação de controle u*(t)



Essa será a lei que vai reger todo o movimento do estado ao longo da trajetória determinando suas ações para atingir o estado final desejado no tempo final desejado. E o melhor: maximizando o funcional J. Então, de posse da lei de controle ótimo em função apenas do tempo, podemos encontrar a equação completa do estado x(t) que ficará dependente apenas do tempo t.
Como o estado é



Então



E agora é somente fazer uma integração em função do tempo t.
Então, como a solução teórica(lembre-se que o ponto em cima de x na integral significa derivada em relação ao tempo) é


Substituindo a condição inicial (por isso elas existem e são importantes) x(0)=1



E substituindo a dinâmica completa para o estado já com a lei de controle ótimo



Onde integrando no tempo teremos:



O que fornece como trajetória ótima no sentido de maximizar o funcional J



Essa é uma solução teórica e pode-se observar que quando o tempo tendo ao tempo final igual a 1 a trajetória tende ao infinito o que leva o controle ao infinito positivo para continuar tentando maximizar o funcional. A figura ao lado mostra a soluçaõ do problema para o estado x(t), o controle ótimo u(t) e o funcional J. Perceb-se que sempre o funcional está aumentando no sentido de aumentar os "ganhos".

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