O processo da escolha dos pontos ótimos

Conforme visto o problema a ser resolvido é encontrar a solução ótima para a equação Z com as restrições descritas. Então

Deseja-se

Já vimos que a área hachurada é conhecida como solução viável, o que quer dizer que pontos dentro dessa área servem como solução. Mas o processo de otimização visa descobrir qual é o melhor de todos. Por exemplo, o ponto (1,1) é uma solução para as inequações pois

1<3

1<4

1+2<9

1>0

1>0

Logo todas as restrições são satisfeitas. Mas onde está o melhor? O valor de Z para (1,1) é Z=7. Mas o ponto (2,2) que também está dentro da área hachurada nos fornece outro valor de Z=14, melhor que o primeiro. E se formos descolando para cima, melhor ainda para cada novo par de valor. Então apenas com esse teste, descobre-se qual a direção do maior valor da função Z, conhecido como direção do GRADIENTE. Mas não podemos ficar sorteando pontos aleatórios pois teríamos que testar infinitos pontos.

 

Encontrando o melhor de todos - ponto ótimo

O segredo está no deslocamento da reta Z=5x1+2x2 ao longo da direção do gradiente. Na verdade a área hachurada é conhecido como poliedro de hiperplano, pois a função Z quando desenhada é uma função em 3D. Nesse caso, a figura é simples, mas se tivéssemos mais variáveis seria impossível a visualização pois se fossem as variáveis x1, x2 e x3 o gráfico da função objetivo seria em 4D ! Obviamente isso não é possível. Teorema provam na verdade que a reta do vetor gradiente é ortogonal à reta da função objetivo Z.

Então uma maneira simples de descobrir a solução (simples mas não eficiente) é ficarmos atribuindo valores para z. Por exemplo:

se z=0 a reta é 5x1+2x2=0 ou x2=-2,5x1

se z=1 a reta é 5x1+2x2=1 ou x2=-2,5x1+1

se z=2 a reta é 5x1+2x2=2 ou x2=-2,5x1+2

Bem já pode-se perceber que o coeficiente angular dessas retas todas não variam, a inclinação delas é sempre a mesma. Outro fato iteressante é que o valor de Z é o mesmo ao longo de toda reta da função objetivo. Nesse caso, como a figura é convexa (fechada) o melhor ponto, o ponto que dará o máximo valor na função objetivo é aquele onde não ocorre nenhum maior que ele. E isso ocorre na aresta!

Conforme previsão feita por teoremas de programação linear, podem existir condições para as restrições onde existam não um ponto ótimo mas infinitos pontos onde a função Z será máxima. Ou seja, dependendo de como um portfólio é montado, depdendendo de como peças são construídas, não existirá uma configuração, mas infinitas delas que terão o mesmo valor e serão máximas ( ou mínimas) .

Basta para isso que a reta da função objetivo esteja perfeitamente inclinada com uma aresta da restrição conforme a figura a seguir e o problema não possuirá solução única.

 

 

 


 

 

Otimização Linear

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fim da explicação