Otimização sem restrições

 

Um problema de otimização não linear tem as mesmas considerações feitas para otimização de sistemas lineares. É necessária uma função objetivo ou função custo que será minimizada seguindo-se condições necessárias e suficientes. No caso sem restrições considerar, por exemplo, que a função a ser maximizada é:

            Max

As condições necessárias para a investigação dos extremos serão:

          Þ       

 

A resolução

Da segunda equação tem-se que y=2/x e substituindo na primeira, temos:

Chamando  na equação anterior,

O que nos leva aos dois valores de p:

p’ = 4
p’’= 1

Substituindo de volta na equação de x,

 o que nos leva aos valores
ou
  o que nos leva aos valores

Então para cada valor de x é possível encontrar um valor de y, ou seja,

Para x = 2 tem-se y = 1
Para x = -2 tem-se y = -1
Para x = 1 tem-se y = 2
Para x = -1 tem-se y = -2

Assim os extremos da função serão os pares: (2,1), (-2,-1), (1,2) e (-1,-2). Quais desses extremos nos leva ao valor máximo da função? Para isso é necessário fazer uso da condição suficiente da otimização.

 

A Condição Suficiente para Extremos da Função

A condição suficiente para encontrar quais desses pontos são ótimos é:

Ou seja a expressão delta acima deve ser avaliada nos pontos candidatos à ótimo.

No caso do exemplo em questão temos que analisar todas as condições:

(1) Para (a,b)=(2,1)

O que nos leva ao valor de delta
Assim o ponto (2,1) é mínimo local.

(2) Para (a,b)=(-2,-1)

O que nos leva ao valor de delta
Assim o ponto (-2,-1) é máximo local.

(3) Para (a,b)=(1,2) o valor de delta é negativo e não é um extremo.
(4) Para (a,b)=(-1,-2) o valor de delta também é negativo e ele também não é um extremo da função.
Concluindo, o valor máximo local da função f(x,y) está em (-2,-1).