Otimização com restrições

Em nosso cotidiano, restrições são sempre comuns para busca de soluções. Na verdade, soluções sem restrições é que são exceções. No caso de otimização não linear, a busca pelo ótimo é mais complicada do que visto na otimização linear. As condições necessárias devem respeitar as condições conhecidas como Kuhn-Tucker.
Se o problema for de máximo de uma função, do tipo

   Max f(x)
Sujeito à restrição g(x)

O primeiro passo é montar o índice de desempenho extendido na forma:

 J(x) = f(x) – λ.g(x)

onde λ é conhecido como coeficiente de Lagrange. Assim, as condições necessárias para ótimo ponto local deverão ser:

(1)

(2)

(3)

(4)

 

 

Exemplo

Considere o seguinte problema

Do ponto de vista da condição de Kuhn-Tucker é melhor transformar o enunciado para

 

As condições necessárias de Kuhn-Tucker devem respeitar o índice extendido

Logo, as condições serão:

(1)

 

(2)

 

(3)

 

(4)

 

Da condição (4) tem-se que  ou  .

Se x=1 então na condição (1) :  (violou a condição K.T.)

Se  então na condição (1):

Logo a solução será única e igual a . De fato, observando a figura ao lado, o ponto (2,0) é o ponto onde se encontra o máximo da função respeitando a restrição.