Sabendo que não teria chances no duelo (ninguém desistia de duelo para não perder a honra) passou a noite em claro escrevendo e documentando sua nova ciência que havia imaginado mas que ninguém a entendia. Na última carta escrita, a mais científica e enviada ao seu amigo Augustre Chevalier, ele praticamente implora que Chevalier faça um pedido público para que Gauss e Jacobi leiam seus textos para que estes não se percam para sempre. A imagem a seguir mostra a última página da última carta, escrita às pressas antes do duelo. Ao mencionar que a teoria ainda tinha muito a ser feita ele termina a carta com "não tenho mais tempo".

página da última carta de Galois

Galois não entrou para as causas republicanas com sua morte, mas entrou para uma área mais abrangente e continua vivo até os dias de hoje. Ele criou Teoria de Grupos, em especial o Grupo de Galois, ainda hoje deixando pasmos muitos matemáticos do tremendo salto que a matemática deu e sem ainda entenderem como Galois imaginou essa nova teoria. Os grupos de Galois nos levam à compreensão do fenômeno que conhecemos como SIMETRIA. Essa jornada heróica da teoria de grupos é contatada na forma de romance no livro "Why Beauty Is Truth" de Ian Stewart.

Livro: Why Beauty Is Truth

Graças a Galois, antes do projeto de um novo medicamento, as empresas de hoje se baseiam na cristolografia para saber quimicamente como os átomos estão se ligando. Pode-se mostrar que a eficiência de um remédio depende exclusivamente de um arranjo simétrico (e respeitando os padrões de Galois). Esses grupos de Galois nada mais são do que estudo das permutações entre variáveis ou parâmetros. Imagine um conjunto {A,B,C} e que você precisa arranjá-los de alguma forma. Quais são os possíveis arranjos? Você pode trocar todos de lugares, você pode fixar um e trocar dois, ou você pode não trocar ninguém. Se você fizer uma troca e depois, usando essas regras de trocas, trocar o que você já tinha alterado e ainda assim o que sobra está dentro desse conjunto, essa permutação recebe o nome de grupo. Claro que a definição é muito mais rigorosa do ponto de vista matemático.

Visualmente, imagine um triângulo equilátero. O que acontece com a figura, se ela for rotacionada em torno do eixo central? Ela continua triangulo equilátero, a figura não muda, apenas o nome dos vértices conforme figura abaixo. Então a definição de simetria na teoria imaginada por Galois é que a operação deve sempre resultar em elementos do próprio grupo. Se você rotacionar o triângulo o resultado deve ser triângulo. Você deve associar duas operações e o resultado pertence ao conjunto. Se você inverter as rotações o resultado deve voltar à origem com um elemento pertencente ao conjunto. No caso do triângulo equilátero, esse triangulo é definido simétrico pois :

(1) Se você não fizer nada, o triângulo ainda é equilátero.

(2) Se você rotacionar um dos vértices de 60 graus, e depois novamente de mais 60 graus, o resultado é o mesmo se rotacionar 120 graus.

(3) Se voltar com rotação no sentido contrário, os vértices retornam na sua posição.

(4) Se você rotacionar o triângulo como se fosse um espelho, girando ao redor de um eixo fora do triangulo, o resultado é o triangulo com os eixos espelhados.

Por isso, essas operações sobre o triângulo equilátero são definidas e formam um grupo. E como grupo de Galois dizem que o objeto que elas atuam é simétrico.

E simetria é que define o padrão de eficiência da natureza. A simetria permite aos animais se esconderem de seus predadores por imitar a natureza, confundindo-os com formas do ambiente. As borboletas são belas e exibem seus padrões de simetria. A natureza leva um tempo, enquanto as mesmas ainda são larvas para estudar qual o melhor padrão de simetria para proteger a borboleta no futuro. Esses padrões são obtidos por padrões de ligações químicas no DNA da borboleta, dando a essas ligações o padrão de Grupos de Galois. Se a borboleta não fosse simétrica ( ou próximo disso) ela não duraria tempo para perpetuar a espécie.

Simetria da borboleta

A CAUSA DA FAMA DE GALOIS

Toda época tem seu problema famoso, que intriga pesquisadores em torno de uma solução. Na época de Galois o que se desejava era encontrar soluções para os polinômios de ordem 5. Um polinômio de ordem 2 é a parábola. Um polinômio de ordem 3 é conhecido como cúbica. Ou seja, o gráfico cruza o eixo zero 3 vezes, conforme a imagem abaixo.

No início dos anos 1800 todos estavam procurando soluções para a curva quíntica (cruza o eixo 5 veses), uma fórmula que poderia informar onde estão esses cruzamentos no eixo (conhecidos como raízes do polinômio). O fato é que todos buscavam fórmulas e Galois mostrou que a simetria das raízes era mais importante do que saber onde elas estão. Mesmo sem saber quem são as raízes, Galois conseguia dizer se a equação teria solução ou não. De que forma? Apenas estudando a simetria das respostas. Por exemplo na equação quadrática

as raízes são x1=2 e x2=3. Temos então que x1+x2 = 2+3 = 5. O que acontece se ao invés dessa soma você fizer x2+x1? A resposta é a mesma, ou x2+x1=5. O que Galois diz em sua teoria é que se essas trocas (ou permutações) forem realizadas dentre todas as relações possíveis e nunca o resultado se alterar, então a equação tem uma "forma" que garante simetria das raízes. E quando isso é possível, sua equação terá uma fórmula para encontrar raízes.

E ele provou que na equação com expoente 5 isso nunca será possível! Nem com grau 6 ou 7, ou infinito. Nunca será possível achar uma fórmula que forneça raízes de polinômios acima de 5. Por isso o pobre Poisson não entendeu a teoria de Galois, ele estava pelo menos 200 anos à frente. Por isso nós o entendemos, pois Galois está presente em nosso dia-a-dia e não nos dias de Poisson. Não dá para imaginar um avião sem simetria, ele não teria estabilidade. Não dá para imaginar um navio sem simetria, ele afundaria. As grandes redes web nos dias de hoje pagam por softwares anti-virus que buscam por invasores que mantêm padrão de simetria, ou seja, permutações de senhas para invadir um sistema. Um método muito antigo de invasão é conhecido como "força bruta" onde todos os números de senha são permutados até se encontrar a senha. Infelizemente até isso evoluiu e ninguém mais usa esse método para invadir sistemas.

É O MERCADO FINANCEIRO SIMÉTRICO?

Desejar encontrar simetria no mercado financeiro vai depender do ponto de vista. Se considerarmos que as operações são realizadas por ordens humanas, ou ordens lógicas para quem usa robôs algoritmos, podemos enxergar o mercado financeiro como simétrico. O padrão altas e baixas às vezes são simétricos, pois mexem com o comportamente comum de humanos, tais como felicidade e medo. Por exemplo, em alguns dias pode-se notar um comportamento de simetria entre alguns índices tais como Hang Seng e Nikei, mas não dá para garantir que são simétricos. Esse padrão ocorre pois às vezes o japão está induzido por algum tipo de notícia que é diferente da notícia que chega algumas horas depois na China.

Há ainda algumas técnicas que buscam encaixar elementos simétricos para mostrar um canal de compras e de vendas, mas isso tudo é apenas especulação em cima de gráfico. Não existe prova alguma sob uma estrutura de grupo para a análise técnica chamar um triangulo de canal simétrico de compra ou venda como na análise abaixo.

Como pensar em simetria no mercado financeiro? Por exemplo, um ajuste de polinômios que representasse uma ação direta dos investidores, ou seja, um polinômio em que as raízes fossem os comportamentos de seres humanos. Estudar essas raízes poderia mostrar que tipos de comportamentos os acionistas possuem. E então tirar um padrão de permutação desses comportamentos, por exemplo, quando os acionistas compram, quando vendem, quando compram duas vezes seguidas e vendem três vezes e assim por diante. Poder reconhecer esse tipo de comportamento grupal, do ponto de vista de grupos de Galois, forneceria uma informação mais do que valiosa para as empresas. E isso nada tem haver com questionários e estatísticas padrão que as empresas usam nos dias de hoje.

Assim, o mercado financeiro pode exibir uma certa simetria, mas nada ainda diante das análises simplistas que povoam a internet e corretoras. Assim, como não se pode apenas confiar na percepção humana que sempre nos engana, não podemos acreditar apenas nos números que chegam.

A simetria do formato da borboleta não usa apenas dados de chuva, ou temperatura, mas todo o ambiente em que a larva está habitando. Não podemos dizer a forma do universo, mas os astrofísicos avançaram em muito em seus modelos de formação de universo, pois as leis que as galáxias e estrelas exibem, mostram padrão de simetria. E quando colocados em grupos de Galois nos permitem viajar para imaginar como seria sairmos de nosso casulo terrestre, assim como a borboleta sai de seu estado larvário.

A atual forma do universo na verdade nos mostra que temos muitos universos, segundo o formato conhecido como Calabis (figura abaixo). E o mais interessante, todos estão juntos, formando uma estrutura de Grupo. Se isso for comprovado por dados, não há menor possibilidade que seu formato esteja errado. Conforme Galois mostrou 200 anos atrás, a simetria manda no mundo, manda em nós humanos, assim como manda nas borboletas. Por que não mandaria no formato do universo?

Universo de Calabis